- Код статьи
- S0205960625020021-1
- DOI
- 10.31857/S0205960625020021
- Тип публикации
- Статья
- Статус публикации
- Опубликовано
- Авторы
- Том/ Выпуск
- Том 46 / № 2
- Страницы
- 235-251
- Аннотация
- В работе намечается не вполне традиционный подход к изучению истории математики, который связан с выделением систем математических мыслительных средств (знаковых, понятийных, идеальных), позволяющих представлять различные типы отношений, характерные для конкретной ветви математики, и оперировать с ними. Основная задача истории математики при таком подходе – это анализ появления, эволюции и трансформации систем ее мыслительных средств как с точки зрения расширения горизонтов познания и выхода на новые уровни абстракции, так и с позиций пополнения арсенала методов использования таких средств. Для демонстрации результатов применения такого подхода авторами был рассмотрен один из разделов функционального анализа – теория положительных операторов – в контексте истории его генезиса и начального развития в период с середины 1900-х по 1960-е гг. На этом пути были выявлены ключевые мыслительные средства, относящиеся к конечномерному периоду развития указанной теории (положительные матрицы, осцилляционные матрицы и др.) и выражающие отношения между ее значимыми математическими сущностями (теорема Перрона). Кроме того, были сделаны первые шаги по пути осмысления дальнейшей трансформации указанных средств (понятие конуса, определение положительных функционалов и операторов) и математических отношений (теоремы Ентча и Урысона в интегральном и абстрактном виде и др.). Обсуждаются результаты, полученные О. Келлогом, Ш. Штурмом, М. Г. Крейном, Ф. Р. Гантмахером, М. А. Рутманом, М. А. Красносельским, Л. А. Ладыженским и другими математиками.
- Ключевые слова
- история математики мыслительное средство отношение между математическими сущностями развитие математики теория положительных операторов теория конусов
- Дата публикации
- 06.07.2025
- Год выхода
- 2025
- Всего подписок
- 0
- Всего просмотров
- 36
Библиография
- 1. Ascoli, G. (1932) Sugli spazi lineari metrici e le loro varietà lineari, Annali di matematica pura ed applicata, vol. 10, pp. 33–81.
- 2. Bogatov, E. M. (2019) O razvitii kachestvennykh metodov resheniia nelineinykh uravnenii i nekotorykh posledstviiakh [On the Development of Qualitative Methods for Solving Nonlinear Equations and Some Consequences], Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Prikladnaia nelineinaia dinamika, vol. 27, no. 1, pp. 96–114.
- 3. Bogatov, E. M. (2020) Ob istorii polozhitel’nykh operatorov (1900-e – 1960-e gg.) i vklade M. A. Krasnosel’skogo [On the History of Positive Operators (1900s – 1960s) and the Contribution of M. A. Krasnoselskii], Nauchnye vedomosti BelGU, seriia: Prikladnaia mate matika. Fizika, vol. 52, no. 2, pp. 105–127.
- 4. Bogatov, E. M. (2024) Istoriia otechestvennykh shkol nelineinogo funktsional’nogo analiza vtoroi treti XX veka [The History of Russian Schools of Nonlinear Functional Analysis in the Second Third of the 20th Century], Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie, no. 3, pp. 102–118.
- 5. Borovskikh, A. V. (2003) Usloviia znakoreguliarnosti razryvnykh kraevykh zadach [Sign Regularity Conditions for Discontinuous Boundary-Value Problems], Matematicheskie zametki, vol. 74, iss. 5, pp. 607–618.
- 6. Borovskikh, A. V. (2022) O poniatii matematicheskoi gramotnosti [On the Concept of Mathema tical Literacy], Pedagogika, vol. 86, no. 3, pp. 33–45.
- 7. Borovskikh, A. V. (2022) O soderzhanii matematicheskogo obrazovaniia. Matematika dlia nematematikov [On the Content of Mathematical Education. Mathematics for Non Mathematicians], Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie, no. 4, pp. 51–65.
- 8. Borovskikh, A. V. (2024) O soderzhanii shkol’nogo matematicheskogo obrazovaniia. Ot soder zhimogo k soderzhaniiu: matematika kak sovokupnost’ myslitel’nykh sredstv [On the Content of School Mathematics Education. From Contents to Content. Mathematics as a System of Mental Means], Vestnik Moskovskogo universiteta, seriia 20: Pedagogicheskoe obrazovanie, vol. 22, no. 2, pp. 61–82.
- 9. Borovskikh, A. V., and Pokornyi, Iu. V. (1994) Sistemy Chebysheva – Khaara v teorii razryvnykh iader Kelloga [Chebyshev – Haar Systems in the Theory of Discontinuous Kellogg Kernels], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 49, no. 3, pp. 1–42.
- 10. Demidovich, B. P. (1997) Sbornik zadach i uprazhnenii po matematicheskomu analizu: uchebnoe posobie. 13-e izd. [Collection of Problems and Exercises in Mathematical Analysis: A Textbook. 13th ed.]. Moskva: Izdatel’stvo Moskovskogo universiteta.
- 11. Derr, V. Ia. (1987) K obobshchennoi zadache Valle-Pussena [On the Generalized de la Vallée Poussin Problem], Differentsial’nye uravneniia, vol. 23, no. 11, pp. 1861–1872.
- 12. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1950) Ostsilliatsionnye matritsy i iadra i malye kolebaniia mekhanicheskikh sistem. 2-e izd. [Oscillatory Matrices and Kernels and Small Oscillations of Mechanical Systems. 2nd ed.]. Moskva and Leningrad: Gostekhteoretizdat.
- 13. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1935) Ob odnom spetsial’nom klasse determinantov v sviazi s integral’nymi iadrami Kellog’a. 2-e izd. [On a Special Class of Determinants in Connection with Kellog’s Integral Kernels], Matematicheskii sbornik, vol. 42, iss. 4, pp. 501–508.
- 14. Gantmakher, F. R., and Krein, M. G. (1941) Ostsilliatsionnye matritsy i iadra i malye kolebaniia mekhanicheskikh sistem [Oscillatory Matrices and Kernels and Small Oscillations of Mechanical Systems. 2nd ed.]. Moskva and Leningrad: Gostekhteoretizdat.
- 15. Gilʼbert, D. (Hilbert, D.) (1998) Izbrannye trudy [Selected Works]. Moskva: Faktorial, vol. 2: Analiz. Fizika. Problemy Gil’berta [Analysis. Physics. Hilbert’s Problems].
- 16. Jentzsch, R. (1912) Über Integralgleichungen mit positivem Kern, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 41, pp. 235–244.
- 17. Keller, G. B. (1974) Nekotorye pozitonnye zadachi, vydvigaemye nelineinoi teoriei generatsii tepla [Some Positivity Problems Raised by the Nonlinear Theory of Heat Generation], in: Keller, Dz. B., and Antman, S. (Keller, J. B., and Antman, S.) (eds.) Teoriia vetvleniia i nelineinye zadachi na sobstvennye znacheniia [Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems]. Moskva: Mir, pp. 129–151.
- 18. Kellogg, O. D. (1916) The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set, American Journal of Mathematics, vol. 38, no. 1, pp. 1–5.
- 19. Kellogg, O. D. (1918) Interpolation Properties of Orthogonal Sets of Solutions of Differential Equations, American Journal of Mathematics, vol. 40, no. 3, pp. 225–234.
- 20. Kellogg, O. D. (1918) Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations, American Journal of Mathematics, vol. 40, no. 2, pp. 145–154.
- 21. Krasnosel’skii, M. A. (1962) Polozhitel’nye resheniia operatornykh uravnenii [Positive Solutions of Operator Equations]. Moskva: Fizmatgiz.
- 22. Krasnosel’skii, M. A., and Ladyzhenskii, L. A. (1954) Struktura spektra polozhitel’nykh neodnorodnykh operatorov [The Structure of the Spectrum of Positive Nonhomogeneous Operators], Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva, iss. 3, pp. 321–346.
- 23. Krasnosel’skii, M. A., and Ladyzhenskii, L. A. (1959) Ob ob”eme poniatiia u0-vognutogo operatora [The Scope of the Concept of a u0-concave Operator], Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika, no. 5, pp. 112–121.
- 24. Krasovskii, Iu. P. (1960) K teorii ustanovivshikhsia voln nemaloi amplitudy [On the Theory of Steady Waves of Considerable Amplitude], Doklady AN SSSR, vol. 130, iss. 6, pp. 1237–1240.
- 25. Krein, M. G. (1937) Pro pozytyvni adytyvni funktsionaly v liniinykh normovanykh prostorakh [On Positive Additive Functionals in Linear Normed Spaces], Soobshcheniia Khar’kovskogo matematicheskogo obshchestva, vol. 14, pp. 227–237.
- 26. Krein, M. G. (1938) Obshchie teoremy o pozitivnykh funktsionalakh [General Theorems on Positive Functionals], in: Akhiezer, N. I., and Krein, M. G. O nekotorykh voprosakh teorii momentov [On Some Issues of the Theory of Moments]. Khar’kov: Gosnauchtekhizdat Ukrainy, pp. 121–150.
- 27. Krein, M. G. (1951) Idei P. L. Chebysheva i A. A. Markova v teorii predel’nykh velichin integralov i ikh dal’neishee razvitie [Ideas of P. L. Chebyshev and A. A. Markov in the Theory of Limit Values of Integrals and Their Further Development], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 6, no. 4, pp. 3–120.
- 28. Krein, M. G., and Rutman, M. A. (1948) Lineinye operatory, ostavliaiushchie invariantnym konus v prostranstve Banakha [Linear Operators that Leave a Cone Invariant in a Banach Space], Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 3, iss. 1, no. 23, pp. 3–95.
- 29. Markov, A. A. (1908) Rasprostranenie predel’nykh teorem ischisleniia veroiatnostei na summu velichin, sviazannykh v tsep’ [Extension of the Limit Theorems of Probability Theory to a Sum of Quantities Connected in a Chain], Zapiski Akademii nauk, seriia 8: Po Fiziko matematicheskomu otdeleniiu, vol. 22, no. 9, pp. 1–29.
- 30. Mazur, S. (1933) Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen, Studia mathematica, vol. 4, pp. 70–84.
- 31. Perron, O. (1907) Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus, Mathe matische Annalen, vol. 64, pp. 1–76.
- 32. Pokornyi, Iu. V. (1978) O neklassicheskoi zadache Valle-Pussena [A Nonclassical de la Vallée Poussin Problem], Differentsial’nye uravneniia, vol. 14, no. 6, pp. 1018–1027.
- 33. Pokornyi, Iu. V., and Lazarev, K. P. (1987) Nekotorye ostsilliatsionnye teoremy dlia mno gotochechnykh zadach [Some Oscillation Theorems for Multipoint Problems], Differentsial’nye uravneniia, vol. 23, no. 4, pp. 658–670.
- 34. Riesz, F. (1930) Sur la décomposition des opérations fonctionnelles linéaires, Atti del Congresso internazionale dei matematici, Bologna, 3–10 settembre 1928. Bologna: Nicola Zanichelli, vol. 3, pp. 143–148.
- 35. Rutman, M. A. (1938) Ob odnom spetsial’nom klasse vpolne nepreryvnykh operatorov [On a Special Class of Completely Continuous Operators], Doklady AN SSSR, vol. 18, no. 9, pp. 625–627.
- 36. Rutman, M. A. (1940) Sur les opérateurs totalement continus linéaires laisse invariant un certain cône, Matematicheskii sbornik, vol. 8 (50), no. 1, pp. 77–96.
- 37. Schur, I. (1909) Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen, Mathematische Annalen, vol. 67, no. 3, pp. 306–339.
- 38. Sturm, С. (1836) Sur une class d’equations a differences partielle, Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 1, pp. 373–444.
- 39. Uryson, P. S. (1923) Ob odnom tipe nelineinykh integral’nykh uravnenii [On One Type of Nonlinear Integral Equations], Matematicheskii sbornik, vol. 31, no. 2, pp. 236–255.
- 40. Vileitner, G. (Wieleitner, H.) (1966) Istoriia matematiki ot Dekarta do serediny XIX stoletiia [History of Mathematics from Descartes to the Mid-19th Century]. Moskva: Nauka.
